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仔细观察，这个映射有一个特别大的特点，变换前后能保持局部形状不变：变换以后还是能认出来图中的兔子和毕加索的画。 这个映射从全局来看畸变非常剧烈，拓扑发生了巨大的变化，但局部形状并没有发生改变。 这类变换就是所谓的保角变换，大家在复变函数论里应该学过这个概念。 这里列举了一些计算共形几何领域的基本问题。 它们的描述方式比较数学化，但大家如果稍微有些数学背景的话，就可以知道大量的工程问题、医学问题，最后都可以归结为数学问题。 我们可以想象，在未来深度的商品化硬件或软件模块将是各个类别的流形，和流形之间的映射，以及流形上概率密度之间的变换。 底层的流形模块已经被AI公司训练完善，大规模产品化，用户只需要搭建这些模块就可以实现各种功能。 如图9所示，给定一张人脸图像，生成这张脸二十年后的图像，或者倒推这张脸二十年前的图像，这种变换我们称之为人脸图像年龄变换。
大家都有了iPhone X之后，得到这样的数据会变得更加廉价。 比如给你一个高速的动态的三维曲面序列，如何求它们之间的微分同胚，如何自动精确地找到一一对应、如何分析表情的变换，实际上具有非常大的挑战性。 从计算角度讲比较困难，从理论角度讲也不是很完善。 我们和前人最大的区别是，之前的人是做平面区域之间的保角变换，现在我们是做曲面之间的变换。 换句话说，为了做平面之间的变换，只需要研究复变函数；但是要做曲面之间的变换的话，用的理论工具就要换成微分几何加上几何分析偏微分方程（Geometric PDE）。 所以从历史来看，这是我们和前人的工作理论层面的最大差别。
这种方法不问噪声的形成机制，适用于各种噪声。 这里我们进行人脸图像去噪，因此需要清晰人脸图像流形。 如果，我们将带噪声的人脸图像向清晰猫脸图像流形投影，所得结果不再具有任何实际意义。 深度学习技术正在深刻地改变着人类的历史进程，它在图像识别、语音识别、自然语言处理、文本翻译等几乎所有信息科学领域，都带来了翻天覆地的革命。 我们这个时代所面临的最为根本的问题之一就是为深度学习的有效性给出一个合理的答案。
有一张三维人脸，经过变换以后变成二维圆盘，这是黎曼映照。 在人脸上任意画两条相交曲线，曲面上的曲线在变换后成为平面上的曲线；原曲线交点切向量之间的交角为 θ，变换后的曲线交点切向量之间交角仍然为 θ，并不改变。 如果有一个微分同胚满足这个性质，它就可以称作保角变换。 这是我的办公室，我在桌面上放了一个镜框，照了一张整个办公室的照片，把照片嵌在镜框里；大家可以看到镜框里面还存在二级镜框，二级镜框里还有三级镜框，有无穷多的镜框嵌套，在无穷级嵌套的内部有唯一的不动点。 把整个图像经过相似变换，将镜框内部放大成整张图像，则整个图像本身是不变的。 这种不变相似变换它和它自己复合，构成了一个不变群；整个平面抠掉不动点，除掉这个群，它的商空间实际是一个拓扑环面，是一个二维的轮胎曲面。
这些流形结构和其上的特定概率分布是整体先验知识的有效表示，正是因为具备这些先验知识，很多视觉和机器学习的问题能够被有效解决。 流形能够表达一类数据的整体先验知识，传统方法只能利用局部较少的先验知识。 我们认为，深度学习的成功应该归功于数据自身具有内在的规律：高维数据分布在低维流形附近，流形上具有特定概率分布，同时归功于深度学习网络强大的逼近非线性映射的能力。 深度学习技术可以从一类数据中提取流形结构，将整体先验知识用流形来表达，具体而言就是编码解码映射，隐含在神经元的权重之中。 例二：如图2所示，米勒佛曲面是三维空间中的二维流形，参数化映射将曲面映射到平面圆盘。
为了达到这一理想效果，艰苦的调参不可避免。 而这正是深度学习的困难所在：缺乏理论指导的实验性调节超参数。 这个映射，第一把弯曲的曲面变成平面，实现了降维，把三维的体在平面上处理，把几何曲面之间的配准问题变成图像配准问题。 我们可以看到耳朵依旧是耳朵的形状，眼睛、鼻子、头发也是一样。 这种映射在切空间上看，是相似变换；每一点有一个小临域，临域到临域之间的变换是相似变换，相似变换保持形状不变。 但是每一点的相似比不一样，所以有的地方放大了，有的地方缩小了。
我会将主要内容发到我的公众号上，可能有很多缺点和错误，希望大家提出宝贵意见。 此次会议极具学科交叉特色，430多位来自信息科学（含计算机与电子工程等学科）、数学与医学等领域的专家学者与临床医生聚首一堂，围绕人工智能+医疗、医学图像分析、深度学习、虚拟/增强现实等热点问题开展深入的交流与探讨。 当然，生成图像的质量由很多因素所决定，最为重要的有两个：重建流形对数据流形S的逼近精度；白噪声图像是否在参数域中，即是否在编码映射的像集内。 生成模型是深度学习的一个典型应用，如图5所示，输入一张低维的白噪音，输出一张逼真的人脸图像。 这在传统框架下是匪夷所思的：我们妙手空空，平白无故地变出一张人脸！ 这是一张通过扫描得到的三维人脸，通过黎曼映照投到平面上来。 我们在平面上放了许多无穷小圆作为它的纹理，拉到三维曲面上以后还是无穷小圆。
大家如果对硬件比较熟悉的话，图像处理可以用 FPGA 来做、用 GPU 做，但是处理三维曲面比较困难。 比如大家想把 CNN 从图像处理变成几何处理，有几种方法，一种是把曲面嵌在八叉树里；另一种就是展在平面上，然后用平面处理的方法来做。 今年 SIGGRAPH 就有这方面的论文。 把三维曲面变成二维，最自然的方法当然就是这种共形变换。 顾险峰教授，现为美国纽约州立大学石溪分校计算机系和应用数学系的终身教授，也是清华大学丘成桐数学科学中心访问教授。 曾获美国国家自然科学基金CAREER奖，中国国家自然科学基金海外杰出青年奖（与胡事民教授合作），"华人菲尔茨奖"：晨兴应用数学金奖。
传统方法需要自变量和因变量之间精确的数学关系，流形框架下的深度学习只需要猜测流形的存在性和大致维数就可以学出流形结构。 如图10所示，我们考察所有手写体数字二值图像构成的流形，左帧是真实数据，右帧是生成数据。 0到9这十个数字在此流形上定义了十个不同的概率分布。 我们用编码映射将流形映射到隐空间，编码映射将这十个分布"推前"到隐空间上。 为了可视化，我们将隐空间定义为二维平面，如此得到十个概率分布。
这种变换就是共形变换，它保持了局部形状不变。 非线性拟合能力我们可以看到很多计算机视觉、机器学习高层次（high level）的问题可以用流形、流形间的映射来描述。 后面我们可以看到，概率分布之间的变换可以归结为流形间的映射。 流形的局部参数表示，流形的参数化，流形间的局部映射都归结为欧氏空间之间的非线性映射。 深度学习的成功也依赖于深度神经网络拟合这种非线性映射的能力。 流形结构根据数据科学的流形分布定律，自然数据背后隐藏着流形结构，深度学习方法可提取这些流形结构，并用神经网络来表达流形间的映射，给出流形本身的参数化和参数表示。